نظریه اعدادنظریه اعداد چیست؟
نظریه اعداد که در گذشته تحت عنوان حساب یا حساب پیشرفته شناخته می شد شاخه ای از ریاضیات است که عمدتا خود را وقف مطالعه اعداد صحیح می کند. بنابر گفته کارل گاوس؛ ریاضیات ملکه علوم است و نظریه اعداد ملکه ریاضیات.
افرادی که در این خصوص مطالعه دارند اعداد اول و خواص اشیائی که از اعداد ساخته می شوند را مورد بررسی قرار می دهند، به عنوان مثال اعداد گویا یا تعمیم هایی از اعداد تعریف می کند مانند اعداد صحیح جبری.
می توان اعداد صحیح را به تنهایی یا به عنوان جواب معاملات در هندسه سیاله‌ای در نظر داشت. سوالات حوزه نظریه اعداد غالبا از طریق مطالعه روی اشیاء تحلیلی به عنوان مثال تابع زتای ریمان بهتر فهمانده می شوند. می توان اعداد حقیقی را با کمک گرفتن از اعداد گویا مطالعه کرد برای مثال تقریب زدن به کمک اعداد گویا که به آن تقریب سیاله ای گفته می شود.
اصطلاح قدیمی که برای نظریه اعداد درنظر گرفته می شود حساب بوده است. اوایل سده بیستم با عبارت نظریه اعداد جایگزین شد. کلمه حساب درمیان مردم به عنوان محاسبات مقدماتی نیز شناخته می شد از طرفی این اصطلاح در منطق ریاضی به معنی حساب پئانو در علئن رایانه به معنای ممیز شناور می باشد.
استفاده از اصطلاح حساب برای نظریه اعداد در نیمه دوم سده بیشتم رواج پیدا کرد. ادعا می شود ترویچ آن تحت تاثیر فرانسوی ها بوده است به خصوص اصطلاح حسابی که عنوان یک صفت نسبت به نظریه اعدادی ترجیح داده می شود.
نظریه اعداد چیستنظریه مقدماتی اعداد:
در نظریه مقدماتی مربوط به اعداد، اعداد صحیح را بدون استفاده از روش های به کار رفته در سایر شاخه های ریاضی مورد بررسی قرار می دهد. مسائل بخش پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م. م)، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد کامل (به انگلیسی: ( perfect number) و همنهشتی‌ها در این بخش قرار می گیرند.
برخی از یافته های مهمی که این رشته شامل مواردی از جمله؛ قضیه کوچک فرما، قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم می باشند. از طرفی مواردی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی هم در همین حوزه قرار می گیرند.
حل بسیاری از مسائل مانند نظریه مقدماتی اعداد برخلاف ظاهر ساده ای که از خود نشان می دهند به تلاش بسیاری زیادی نیاز دارند که با به کار گرفتن روش های نوین انجام می شوند، برخی از این موارد شامل:
- حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
- حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،
- حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول،
- حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
- حدس اعداد اول مرسن در مورد بینهایت بودن اعداد اول مرسن و...
- همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تعمیم‌ناپذیر است.
نظریه تحلیلی اعداد:
در نظریه تحلیلی اعداد برای بررسی سوالاتی درباره اعداد صحیح از حسابان و آنالیز مختلط استفاده می شود. مثال هایی که در این خصوص می توان به آن اشاره کرد شامل قضیه اعداد اول و حدس ریمان است. از روش های تحلیلی که مورد حمله قرار می گیرند شامل مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) می باشد.
در بخش نظریه تحلیل اعداد اثبات متعالی (ترافرازنده) بودن ثابت‌های ریاضی مانند π و e هم مورد توجه قرار دارند. باوجودی که حکم هایی درباره اعداد ترافرازنده خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، درحقیقت مقادیر ممکن برای پند جمله ای ها با ضریب های صحیح مانند e بررسی می شوند. از طرفی اینگونه مسائل هم با مبحث تقریب دیوفانتین ارتباط نزدیکی دارند، این موضوع بدین گونه است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟
نظریه تحلیلی اعدادنظریه جبری اعداد:
در نظریه جبری اعداد مفهوم عدد به اعداد جبری که همان ریشه‌های چندجمله‌ای‌هایی با ضریب گویا مربوط شده و گسترده می شود. در این حوزه اعداد که مشابه با اعداد صحیح هستند تحت عنوان اعداد صحیح جبری شناخته می شوند. در این عرصه لازم نیست ویژگی های آشنای اعداد صحیح برقرار باشد. مزیت های روش های استفاده شده در این رشته مانند نظریه گالوا، میدان همانستگی، نظریه رده میدان و نمایش های گروه ها و توابع این است که برای این رده از اعداد نظم تاحدی تامین شود.
نظریه هندسی اعداد:
نظریه هندسی اعداد که پیش از این تحت عنوان هندسه اعداد شناخته می شد جنبه هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می دهد و از قضیه مینکوفسکی در ارتباط با نقاط توری در مجموعه‌های محدب و تحقیق در مورد چپاندن کره‌ها در فضای Rn شروع می‌شود.
نظریه ترکیباتی اعداد:
نظریه ترکیباتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می پردازد و با روش های ترکیباتی بررسی می شوند. پایه گذار این شاخه از نظریه اعداد پل اردوش می باشد. الگوریتم های سریعی برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارند.
نظریه ترکیباتی اعدادنظریه اعداد مدرن:
شاید بتوان ریاضیدان شهیر فرانسوی پیردو فرما را رکن اساسی در پیشرفت نظریه اعداد دانست که پیشرفت نظریه اعداد را تاحدی مدیون وی بوده ایم. او به اعداد کامل علاقه داشت و روش های و الگوریتم های تقسیم عدد صحیح را اختراع کرد. فرما قضیه های زیادی در نظریه اعداد البته بدون اثبات مطرح کرد که بعدا بعضی از آنها توسط ریاضی دان های دیگر به اثبات رسیدند. شاید از نظر فرما این قضیه‌ها امری بدیهی بودند و اثبات آنها برایش بسیار ساده بود. در نتیجه اثبات‌ها را ثبت نکرد.
دانشمند آلمانی لئونهارد اویلر هم از جمله دانشمندانی بود که در پیشرفت نظریه اعداد نقش مهمی ایفا کرد، بسیاری از قضیه های فرما توسط اویلر اثبات و تجزیه شدند.
نظریه اعداد مدرنگردآوری: بخش علمی سرپوش
- 10
- 2
